Fungsi linear, kuadrat, rasional, eksponen, logaritma - Aljabar & Fungsi Materi Matematika Wajib Kelas 10

Fungsi linear, kuadrat, rasional, eksponen, dan logaritma adalah “keluarga besar” fungsi yang paling sering muncul di matematika sekolah dan perguruan tinggi. Memahami kelimanya bukan cuma penting untuk lulus ujian, tapi juga untuk melihat bagaimana matematika dipakai di dunia nyata: dari menghitung bunga bank, memodelkan pertumbuhan populasi, sampai menganalisis data.

Di bawah ini kita bahas satu per satu secara runtut dan santai.

1. Fungsi Linear

1.1 Pengertian dan Bentuk Umum

Fungsi linear adalah fungsi dengan pangkat variabel tertinggi sama dengan 1. Bentuk umumnya:

[
y = f(x) = ax + b
]

dengan:

• (a) = gradien/kemiringan garis

• (b) = titik potong dengan sumbu (y) (intersep (y))

Ciri khas fungsi linear: grafiknya selalu garis lurus.

1.2 Makna Gradien dan Intersep

• Gradien (a) menunjukkan seberapa cepat (y) berubah saat (x) berubah.

  • Jika (a > 0), garis naik dari kiri ke kanan.

  • Jika (a < 0), garis turun dari kiri ke kanan.

  • Jika (a = 0), garis datar sejajar sumbu (x).

• Intersep (b) adalah nilai (y) saat (x = 0). Jadi titik ((0, b)) selalu ada di garis.

1.3 Contoh dan Aplikasi

1. Gaji bulanan
   Misalkan gaji seseorang terdiri dari gaji tetap Rp3.000.000 dan komisi Rp50.000 per barang terjual.
   Jika jumlah barang terjual (x), maka fungsi gajinya:

   [
   g(x) = 50.000x + 3.000.000
   ]

   • (a = 50.000) → setiap tambahan 1 barang, gaji naik Rp50.000.

   • (b = 3.000.000) → gaji tetap saat belum menjual barang.

2. Hubungan jarak dan waktu dengan kecepatan tetap
   Jika seseorang mengendarai motor dengan kecepatan tetap 60 km/jam, jarak yang ditempuh:

   [
   s(t) = 60t
   ]

   (dengan (t) dalam jam). Ini fungsi linear tanpa intersep (melalui titik (0,0)).

2. Fungsi Kuadrat

2.1 Pengertian dan Bentuk Umum

Fungsi kuadrat memiliki pangkat variabel tertinggi 2. Bentuk umum:

[
y = f(x) = ax^2 + bx + c,\quad a \neq 0
]

Grafiknya berupa parabola:

• Jika (a > 0): parabola membuka ke atas.

• Jika (a < 0): parabola membuka ke bawah.

2.2 Titik Puncak (Vertex) dan Arah Parabola

Parabola punya titik puncak (vertex) yang bisa jadi titik maksimum atau minimum.

Koordinat titik puncaknya:

[
x_v = -\frac{b}{2a}, \quad y_v = f\big(x_v\big)
]

• Kalau (a > 0): vertex adalah titik minimum (lembah).

• Kalau (a < 0): vertex adalah titik maksimum (puncak bukit).

2.3 Akar-akar Persamaan Kuadrat

Akar-akar persamaan kuadrat (ax^2 + bx + c = 0) adalah:

[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]

Bagian di dalam akar disebut diskriminan (D = b^2 - 4ac):

• (D > 0): dua akar real berbeda.

• (D = 0): satu akar real kembar.

• (D < 0): tidak ada akar real (akar imajiner).

2.4 Contoh dan Aplikasi

1. Gerak parabola (bola dilempar ke atas)
   Ketinggian bola sering dimodelkan dengan fungsi kuadrat:

   [
   h(t) = -5t^2 + 20t + 1
   ]

   • Koefisien (-5) menunjukkan percepatan gravitasi (disederhanakan).

   • Fungsi ini akan memiliki titik maksimum, yaitu ketinggian tertinggi bola.

2. Keuntungan usaha
   Kadang keuntungan bergantung pada jumlah barang yang diproduksi, dan persamaannya bisa berbentuk kuadrat. Misalnya:

   [
   P(x) = -2x^2 + 40x - 100
   ]

   • Karena koefisien (x^2) negatif, parabola membuka ke bawah.

   • Ada titik maksimum yang menunjukkan keuntungan maksimal dan jumlah produksi optimal.

3. Fungsi Rasional

3.1 Pengertian

Fungsi rasional adalah fungsi yang berupa perbandingan dua polinom, biasanya:

[
f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}, \quad q(x) \neq 0
]

Contoh sederhana:

[
f(x) = \frac{1}{x}, \quad g(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}
]

Yang perlu diperhatikan: daerah asal (domain) fungsi rasional dibatasi oleh nilai (x) yang membuat penyebut (0). Nilai-nilai itu harus dikecualikan.

3.2 Sifat dan Bentuk Grafik

Contoh klasik: (f(x) = \frac{1}{x}).

• Domain: semua (x) kecuali 0.

• Grafiknya memiliki dua cabang: kuadran I dan III.

• Ada asimpot:

  • Asimpot vertikal di (x = 0) (mendekati tak terhingga).

  • Asimpot horizontal di (y = 0).

Untuk (f(x) = \frac{2x+1}{x-3}):

• Asimpot vertikal: (x = 3) (karena penyebut 0).

• Untuk asimpot horizontal, lihat derajat dan koefisien tertinggi:

  • Derajat pembilang = derajat penyebut = 1.

  • Asimpot horizontal: garis (y = \frac{\text{koefisien tertinggi pembilang}}{\text{koefisien tertinggi penyebut}} = \frac{2}{1} = 2).

3.3 Contoh dan Aplikasi

1. Laju pekerjaan
   Misal satu tim dapat menyelesaikan pekerjaan dalam (t) jam. Laju pekerjaan per jam bisa dimodelkan dengan fungsi rasional, misalnya:

   [
   L(t) = \frac{1}{t}
   ]

   Artinya, semakin kecil (t), semakin besar laju per jam.

2. Model saturasi/kapasitas maksimum
   Dalam biologi, laju reaksi enzim terhadap konsentrasi substrat kadang dimodelkan oleh fungsi rasional (misalnya persamaan Michaelis-Menten). Bentuknya seperti:

   [
   v(S) = \frac{V_{max} S}{K_M + S}
   ]

   Ini contoh fungsi rasional di dunia nyata: ketika (S) besar sekali, fungsi cenderung mendekati (V_{max}).

4. Fungsi Eksponen

4.1 Pengertian dan Bentuk Umum

Fungsi eksponen adalah fungsi di mana variabel (x) berada di pangkat, bukan di basis. Bentuk umum:

[
y = f(x) = a^x
]

dengan:

• (a > 0), (a \neq 1)

Contoh: (2^x), (3^x), (\left(\frac{1}{2}\right)^x), dan sebagainya.

4.2 Sifat-sifat Utama

Untuk (a > 1) (misalnya (2^x)):

• Grafik naik dari kiri ke kanan.

• Selalu positif: (a^x > 0) untuk semua (x).

• Memotong sumbu (y) di (x = 0): (a^0 = 1), jadi titik ((0,1)).

• Ada asimpot horizontal di (y = 0).

Untuk (0 < a < 1) (misalnya (\left(\frac{1}{2}\right)^x)):

• Grafik menurun dari kiri ke kanan.

• Masih selalu positif dan melalui titik (0,1).

4.3 Rumus Dasar Eksponen

Beberapa sifat penting:

1. (a^m \cdot a^n = a^{m+n})

2. (\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n})

3. ((a^m)^n = a^{mn})

4. (a^{-n} = \frac{1}{a^n})

5. (a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a})

Sifat-sifat ini sering dipakai untuk menyederhanakan persamaan yang melibatkan eksponen.

4.4 Contoh dan Aplikasi

1. Pertumbuhan penduduk
   Jika populasi awal (P_0) dan tumbuh dengan laju (r) per periode (misalnya per tahun) secara multiplikatif, modelnya:

   [
   P(t) = P_0 (1 + r)^t
   ]

   Contoh: populasi awal 1.000 orang, laju tumbuh 5% per tahun → (r = 0{,}05):

   [
   P(t) = 1000(1{,}05)^t
   ]

2. Bunga majemuk (compounding interest)
   Uang di bank dengan bunga majemuk juga mengikuti fungsi eksponen:

   [
   A(t) = A_0 (1 + i)^t
   ]

   dengan:

   • (A_0) = modal awal

   • (i) = suku bunga per periode

   • (t) = jumlah periode

   Inilah alasan mengapa uang bisa “tumbuh” secara cepat kalau dibiarkan lama di investasi berbunga majemuk.

3. Peluruhan radioaktif
   Sebaliknya, peluruhan kadang dimodelkan dengan faktor kurang dari 1, misalnya:

   [
   N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}
   ]

   di mana (T) = waktu paruh (half-life).

5. Fungsi Logaritma

5.1 Pengertian dan Hubungan dengan Eksponen

Fungsi logaritma adalah kebalikan (invers) dari fungsi eksponen. Jika:

[
y = a^x
]

maka kebalikannya:

[
x = \log_a y
]

Artinya, (\log_a y) adalah pangkat yang harus diberikan pada (a) untuk mendapatkan (y).

Contoh:

• (\log_2 8 = 3) karena (2^3 = 8).

• (\log_{10} 1000 = 3) karena (10^3 = 1000).

Bentuk umum fungsi logaritma:

[
y = f(x) = \log_a x,\quad a > 0, a \neq 1, x > 0
]

Perhatikan: domain logaritma hanya bilangan positif.

5.2 Sifat-sifat Logaritma

Beberapa sifat penting:

1. (\log_a 1 = 0) karena (a^0 = 1)

2. (\log_a a = 1) karena (a^1 = a)

3. (\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N)

4. (\log_a \left(\frac{M}{N}\right) = \log_a M - \log_a N)

5. (\log_a (M^k) = k \log_a M)

6. Perubahan basis:

   [
   \log_a M = \frac{\log_b M}{\log_b a}
   ]

   Biasanya digunakan basis 10 atau basis (e) (logaritma natural, (\ln)).

5.3 Grafik Fungsi Logaritma

Untuk (\log_a x) dengan (a > 1):

• Grafik naik dari kiri ke kanan.

• Melalui titik ((1,0)) karena (\log_a 1 = 0).

• Ada asimpot vertikal di (x = 0).

• Domain: (x > 0); Range: semua bilangan real.

Untuk (0 < a < 1), grafiknya menurun dari kiri ke kanan.

Logaritma adalah fungsi invers dari eksponen:
Jika (y = a^x) dan (x = \log_a y), grafiknya saling cermin terhadap garis (y = x).

5.4 Contoh dan Aplikasi

1. Skala desibel (dB)
   Tingkat kebisingan sering dinyatakan dalam desibel, yang menggunakan logaritma basis 10. Misalnya:

   [
   L = 10 \log_{10} \left(\frac{I}{I_0}\right)
   ]

   di mana (I) adalah intensitas suara, (I_0) intensitas referensi.

2. Skala pH dalam kimia
   pH didefinisikan sebagai:

   [
   \text{pH} = -\log_{10} [H^+]
   ]

   di mana ([H^+]) adalah konsentrasi ion hidrogen. Kenaikan 1 unit pH berarti perubahan konsentrasi ion hidrogen 10 kali lipat.

3. Pertumbuhan eksponensial dibalik menjadi garis lurus
   Dalam analisis data, pertumbuhan eksponensial bisa diluruskan dengan logaritma. Contoh: jika

   [
   P(t) = P_0 e^{kt}
   ]

   ambil log keduanya:

   [
   \ln P(t) = \ln P_0 + kt
   ]

   Ini adalah fungsi linear terhadap (t), sehingga memudahkan analisis data.

6. Keterkaitan Antar Fungsi

Walaupun tampak berbeda, fungsi linear, kuadrat, rasional, eksponen, dan logaritma saling berkaitan:

1. Linear sebagai pendekatan awal
   Banyak fungsi kompleks bisa didekati sebagai fungsi linear di sekitar titik tertentu (konsep dalam kalkulus: aproksimasi linear).

2. Kuadrat sebagai perluasan
   Fungsi kuadrat adalah langkah berikutnya, mampu memodelkan fenomena dengan puncak/minimum, seperti gerak parabola dan optimasi keuntungan.

3. Rasional sebagai hasil pembagian
   Fungsi rasional menggabungkan polinom dalam bentuk bagi. Banyak sistem fisik dan biologis memberikan model rasional.

4. Eksponen dan logaritma sebagai kebalikan

   • Eksponen memodelkan pertumbuhan/peluruhan yang sangat cepat.

   • Logaritma membantu “membalikkan” dan menganalisis sistem eksponensial.

   • Logaritma dan eksponen adalah pasangan invers: memudahkan penyelesaian persamaan eksponensial dan logaritma.

5. Perubahan bentuk antara logaritma dan eksponen
   Contoh: menyelesaikan (2^x = 10)

   • Dengan logaritma: (x = \log_2 10 = \frac{\log_{10} 10}{\log_{10} 2} = \frac{1}{\log_{10} 2}).

Kelima jenis fungsi ini adalah fondasi penting dalam matematika:

• Fungsi linear memodelkan hubungan sederhana dan langsung: naik-turun secara konstan.

• Fungsi kuadrat menggambarkan fenomena dengan puncak atau lembah: maksimum/minimum.

• Fungsi rasional menyentuh konsep pembatasan domain, asimpot, dan perilaku tak hingga.

• Fungsi eksponen menangkap pertumbuhan dan peluruhan yang sangat cepat, umum di keuangan, fisika, dan biologi.

• Fungsi logaritma adalah kebalikan eksponen, banyak dipakai untuk skala yang sangat besar atau kecil dan untuk analisis data.

Dengan memahami konsep dasar, bentuk umum, grafik, serta contoh penerapannya, kita bisa melihat bahwa matematika bukan sekadar rumus, tetapi alat untuk membaca dan memahami dunia di sekitar kita.

Kalau mau, setelah ini kita bisa buatkan rangkuman berupa tabel perbandingan sifat-sifat utama kelima fungsi tersebut (bentuk umum, grafik, domain, range, dan contoh aplikasinya) agar makin mudah diingat.